Phép chiếu Gauss-Krüger là gì? Nguyên lý, ứng dụng và so sánh với UTM

Trái Đất có bề mặt cong (gần giống hình cầu, chính xác hơn là hình ellipsoid), trong khi bản đồ là một mặt phẳng. Về mặt toán học, chúng ta không thể trải một bề mặt cong lên một mặt phẳng mà không làm nó bị co giãn, rách nát hoặc biến dạng.

1. Giới thiệu về phép chiếu bản đồ Gauss – Krüger

1.1. Định nghĩa Phép chiếu bản đồ là gì?

Phép chiếu bản đồ chính là một hệ thống các quy tắc và công thức toán học được sử dụng để biểu diễn bề mặt cong của Trái Đất (hoặc một phần của nó) lên một mặt phẳng. Quá trình này không thể tránh khỏi sự biến dạng ở một trong các yếu tố sau: góc, diện tích, khoảng cách, hoặc hình dạng.

Do đó, người ta tạo ra nhiều loại phép chiếu khác nhau, mỗi loại được tối ưu để bảo toàn một hoặc vài yếu tố quan trọng tùy theo mục đích sử dụng của bản đồ.

1.2. Giới thiệu tổng quan về phép chiếu Gauss-Krüger

Là gì? Phép chiếu Gauss-Krüger (thường gọi tắt là phép chiếu Gauss) là một hệ thống phép chiếu bản đồ được sử dụng rộng rãi trên toàn thế giới để thành lập các bản đồ địa hình, địa chính có độ chính xác cao ở tỷ lệ lớn.

Thuộc loại phép chiếu nào? Gauss-Krüger thuộc loại phép chiếu hình trụ ngang, đồng góc.

• Hình trụ ngang (Transverse Cylindrical): Người ta tưởng tượng một hình trụ đặt nằm ngang, tiếp xúc với bề mặt Trái Đất dọc theo một đường kinh tuyến. Các điểm trên Trái Đất được chiếu lên mặt trong của hình trụ đó rồi trải phẳng ra.
• Đồng góc (Conformal): Đây là đặc tính quan trọng nhất. Nó đảm bảo rằng góc giữa hai đường bất kỳ trên bề mặt Trái Đất sẽ bằng với góc tương ứng của chúng trên bản đồ. Điều này cũng có nghĩa là hình dạng của các khu vực nhỏ được bảo toàn, không bị méo mó.

2. Nguyên lý phép chiếu Gauss-Krüger

a. Chia Trái Đất thành các “múi chiếu” (Zones):

Bề mặt Trái Đất được chia thành 60 múi dọc, mỗi múi có độ rộng kinh tuyến là 6∘. Các múi này được đánh số thứ tự từ 1 đến 60, bắt đầu từ kinh tuyến 180∘ và đi về phía Đông.

Ngoài ra, tùy theo yêu cầu về độ chính xác cho từng khu vực, người ta cũng có thể chia thành các múi hẹp hơn, ví dụ như múi 3∘. Múi chiếu càng hẹp thì độ biến dạng càng nhỏ.

b. Sử dụng hình trụ ngang tiếp xúc:

Với mỗi múi chiếu, người ta tưởng tượng có một hình trụ nằm ngang, tiếp xúc với bề mặt ellipsoid Trái Đất dọc theo kinh tuyến trung ương (hay còn gọi là kinh tuyến trục) của múi đó.

• Kinh tuyến trung ương: Là đường kinh tuyến nằm chính giữa mỗi múi chiếu. Ví dụ, múi số 18 (trải từ 102∘Đ đến 108∘Đ) sẽ có kinh tuyến trung ương là 105∘Đ.
• Tiếp xúc: Bề mặt hình trụ chỉ “chạm” vào ellipsoid tại kinh tuyến trung ương này.

c. Phép chiếu đồng góc:

Các điểm trên bề mặt ellipsoid của múi chiếu được chiếu lên mặt trong của hình trụ theo một quy luật toán học phức tạp. Đặc điểm quan trọng nhất của phép chiếu này là nó đồng góc (conformal). Điều này có nghĩa là:

Góc đo được trên bề mặt thực địa (ellipsoid) sẽ bằng với góc tương ứng được biểu diễn trên bản đồ.

Tính chất này cực kỳ quan trọng trong trắc địa vì nó bảo toàn hình dạng của các đối tượng nhỏ và đảm bảo các góc đo đạc không bị thay đổi khi đưa lên bản đồ.

d. Trải phẳng hình trụ:

Sau khi chiếu, hình trụ được “cắt” ra và trải phẳng để tạo thành một tấm bản đồ phẳng. Trên bản đồ này:

• Hình chiếu của kinh tuyến trung ương là một đường thẳng.
• Hình chiếu của đường xích đạo cũng là một đường thẳng và vuông góc với kinh tuyến trung ương.
• Tất cả các kinh tuyến và vĩ tuyến khác đều là những đường cong phức tạp.

e. Hệ tọa độ phẳng Gauss-Krüger:

Trên mặt phẳng bản đồ, người ta thiết lập một hệ tọa độ vuông góc phẳng:

• Trục X (Trục tung): Là hình chiếu của kinh tuyến trung ương. Chiều dương hướng về phía Bắc.
• Trục Y (Trục hoành): Là hình chiếu của đường xích đạo. Chiều dương hướng về phía Đông.
• Gốc tọa độ (O): Là giao điểm của kinh tuyến trung ương và đường xích đạo.

Để tránh tọa độ Y có giá trị âm (cho những điểm nằm ở phía Tây của kinh tuyến trung ương), người ta thường cộng thêm một giá trị giả định vào tọa độ Y (thường là 500.000m) và thêm số thứ tự múi vào trước giá trị này.

3. Ưu điểm của phép chiếu Gauss-Krüger

Phép chiếu Gauss-Krüger, mặc dù là một hệ thống cổ điển và ở nhiều nơi đã được thay thế bởi UTM (như VN-2000 của Việt Nam), nhưng nó sở hữu những ưu điểm vượt trội và mang tính nền tảng, khiến nó vẫn là một kiến thức cực kỳ quan trọng trong ngành trắc địa.

Dưới đây là những ưu điểm chính của phép chiếu Gauss-Krüger:

1. Tính “Đồng góc” (Conformal)

Đây là ưu điểm QUANG TRỌNG và nổi bật nhất của phép chiếu Gauss.

• Ý nghĩa: Tính đồng góc đảm bảo rằng góc đo được trên thực địa (bề mặt cong của Trái Đất) sẽ được bảo toàn nguyên vẹn khi biểu diễn trên mặt phẳng bản đồ.
• Lợi ích thực tiễn: Trong trắc địa, các máy móc như toàn đạc điện tử đo đạc các góc rất chính xác. Việc phép chiếu bảo toàn giá trị góc giúp cho các kết quả đo góc có thể được sử dụng trực tiếp trong tính toán trên bản đồ phẳng mà không cần các phép hiệu chỉnh phức tạp. Nó cũng giữ nguyên hình dạng của các đối tượng nhỏ, giúp cho bản đồ địa hình, địa chính trực quan và chính xác về hình thể.

2. Độ chính xác cao tại Kinh tuyến trung ương

• Ý nghĩa: Phép chiếu Gauss-Krüger sử dụng hình trụ “tiếp xúc” với Trái Đất dọc theo kinh tuyến trung ương của mỗi múi chiếu. Tại đường tiếp xúc này, tỷ lệ biến dạng chiều dài bằng 1 (k=1).
• Lợi ích thực tiễn: Điều này có nghĩa là mọi khoảng cách đo dọc theo kinh tuyến trung ương trên thực địa sẽ có chiều dài chính xác tuyệt đối khi thể hiện trên bản đồ. Các khu vực nằm gần kinh tuyến trung ương cũng có độ biến dạng rất nhỏ. Ưu điểm này làm cho phép chiếu Gauss cực kỳ phù hợp cho các công trình có dạng kéo dài theo hướng Bắc – Nam và nằm gần kinh tuyến trục.

3. Hệ tọa độ vuông góc đơn giản và trực quan

• Ý nghĩa: Phép chiếu Gauss tạo ra một hệ tọa độ vuông góc phẳng (X, Y) quen thuộc, giống như hệ tọa độ Descartes trong toán học phổ thông.
  • Trục X (tung độ) là hình chiếu của kinh tuyến trung ương, hướng về phía Bắc.
  • Trục Y (hoành độ) là hình chiếu của xích đạo, hướng về phía Đông.
• Lợi ích thực tiễn: Sự đơn giản này giúp cho việc tính toán tọa độ, khoảng cách, và phương vị giữa các điểm trên bản đồ trở nên dễ dàng bằng các công thức hình học giải tích phẳng. Việc thành lập lưới tọa độ ô vuông trên bản đồ cũng rất trực quan, thuận tiện cho việc xác định vị trí và quản lý.

4. Phù hợp cho bản đồ tỷ lệ lớn và phạm vi hẹp

• Ý nghĩa: Bằng cách chia Trái Đất thành các múi chiếu hẹp (thường là 6∘hoặc 3∘), phép chiếu Gauss đã khống chế được sự biến dạng ở mức chấp nhận được trong phạm vi mỗi múi.
• Lợi ích thực tiễn: Điều này làm cho nó trở thành lựa chọn lý tưởng để thành lập các loại bản đồ có độ chính xác cao như:
  • Bản đồ địa chính: Phục vụ quản lý đất đai, cấp giấy chứng nhận quyền sử dụng đất.
  • Bản đồ địa hình tỷ lệ lớn (1:500, 1:2000, 1:5000): Dùng trong quy hoạch đô thị, thiết kế hạ tầng, khảo sát xây dựng.
  • Bản đồ chuyên đề đòi hỏi sự chính xác về vị trí và hình dạng tương đối của các đối tượng.

5. Tính hệ thống và lịch sử ứng dụng

• Ý nghĩa: Phép chiếu Gauss-Krüger đã được chuẩn hóa và áp dụng để xây dựng hệ tọa độ cho rất nhiều quốc gia trong một thời gian dài (ví dụ hệ HN-72 ở Việt Nam).
• Lợi ích thực tiễn: Nhờ vậy, có một khối lượng khổng lồ dữ liệu bản đồ và tài liệu trắc địa cũ được xây dựng dựa trên hệ thống này. Việc hiểu rõ ưu điểm và nguyên lý của nó là bắt buộc để có thể khai thác, sử dụng và chuyển đổi các dữ liệu lịch sử này sang các hệ tọa độ hiện đại hơn như VN-2000.

Tóm lại, ưu điểm lớn nhất của phép chiếu Gauss-Krüger nằm ở tính đồng góc và độ chính xác cao ở gần kinh tuyến trung ương, tạo ra một hệ tọa độ phẳng trực quan, lý tưởng cho các công tác trắc địa và bản đồ tỷ lệ lớn trong một phạm vi giới hạn.

4. Ứng dụng rộng rãi trong Trắc địa và Bản đồ

Phép chiếu Gauss-Krüger là nền tảng để xây dựng các hệ tọa độ quốc gia và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực:

• Xây dựng hệ tọa độ quốc gia: Phép chiếu này được sử dụng để thiết lập hệ tọa độ phẳng cho nhiều quốc gia trên thế giới. Tại Việt Nam, hệ tọa độ Hà Nội 1972 (HN-72) được xây dựng dựa trên phép chiếu Gauss-Krüger với ellipsoid Krasovsky.
• Thành lập bản đồ địa hình, địa chính: Hầu hết các bản đồ tỷ lệ lớn (như 1:500, 1:1000, 1:5000) phục vụ công tác quản lý đất đai (địa chính), quy hoạch xây dựng, thiết kế công trình đều sử dụng hệ tọa độ phẳng dựa trên phép chiếu này.
• Công tác trắc địa công trình: Trong xây dựng các công trình lớn như cầu, đường, nhà cao tầng, hệ tọa độ Gauss-Krüger cung cấp một mặt phẳng tham chiếu thống nhất để bố trí và thi công chính xác.
• Đo đạc quân sự: Tính chất đồng góc và độ chính xác cao ở phạm vi hẹp làm cho nó trở nên lý tưởng cho các ứng dụng quân sự.

5. So sánh phép chiếu Gauss-Krüger và UTM

Việc so sánh phép chiếu Gauss-Krüger với UTM (Universal Transverse Mercator) là một yêu cầu rất phổ biến và quan trọng, bởi chúng vừa rất giống nhau về nguyên tắc gốc, lại vừa có những khác biệt cốt lõi quyết định đến tính hiện đại và mức độ ứng dụng của chúng ngày nay. Đây là bản so sánh chi tiết giữa hai phép chiếu này.

5.1. Điểm Tương Đồng Cơ Bản,

Trước hết, cần khẳng định rằng cả Gauss-Krüger và UTM đều là:

• Phép chiếu hình trụ ngang (Transverse Mercator): Chúng đều dùng một hình trụ đặt ngang để chiếu bề mặt Trái Đất.
• Phép chiếu đồng góc (Conformal): Cả hai đều bảo toàn giá trị các góc, giúp giữ nguyên hình dạng của các vật thể nhỏ.
• Phân chia múi chiếu: Cả hai đều chia bề mặt Trái Đất thành 60 múi dọc, mỗi múi rộng 6° kinh tuyến để khống chế sai số.

5.2. Sự Khác Biệt Cốt Lõi

Sự khác biệt lớn nhất và quyết định nhất nằm ở cách chúng xử lý sự biến dạng chiều dài trong mỗi múi chiếu.

5.3. Phân Tích Sâu Hơn Về Sự Khác Biệt

Hãy xem hình minh họa dưới đây để hiểu rõ hơn về sự khác biệt của hệ số tỷ lệ k:

• Với Gauss-Krüger (Đường màu xanh):
  • Chiều dài chính xác tuyệt đối (k=1) ngay tại kinh tuyến trung ương.
  • Càng đi ra xa, chiều dài trên bản đồ càng bị “giãn” ra so với thực tế, và độ giãn này tăng liên tục.
• Với UTM (Đường màu đỏ):
  • Ngay tại kinh tuyến trung ương, chiều dài trên bản đồ bị “co” lại một chút (k=0.9996, tức là 1000m thực tế chỉ còn 999.6m trên bản đồ).
  • Khi di chuyển ra hai bên, độ co này giảm dần, đến hai đường cắt thì chiều dài chính xác tuyệt đối (k=1).
  • Đi tiếp ra biên, chiều dài bắt đầu bị giãn ra, nhưng độ giãn ở biên của UTM vẫn nhỏ hơn so với độ giãn ở biên của Gauss-Krüger.

5.4. Tại sao Việt Nam chuyển từ Gauss-Krüger (HN-72) sang UTM (VN-2000)?

Việc Việt Nam chuyển đổi sang hệ VN-2000 sử dụng phép chiếu UTM là một bước tiến quan trọng vì những lý do sau:

1. Hội nhập quốc tế: UTM là hệ thống được chuẩn hóa và sử dụng trên toàn cầu. Việc áp dụng UTM giúp Việt Nam dễ dàng trao đổi dữ liệu không gian, bản đồ với các nước khác và tương thích với các hệ thống định vị vệ tinh (GPS, GLONASS…).
2. Độ chính xác tốt hơn: Như đã phân tích, UTM phân bố sai số đều hơn và có giá trị biến dạng tổng thể nhỏ hơn, phù hợp hơn cho việc quản lý lãnh thổ quốc gia.
3. Thống nhất đất nước: Trước đây, miền Bắc sử dụng HN-72 (Gauss-Krüger), trong khi các bản đồ do Mỹ thành lập ở miền Nam lại dùng hệ tọa độ UTM. Việc xây dựng

VN-2000 với phép chiếu UTM đã tạo ra một hệ quy chiếu duy nhất, thống nhất cho cả nước.

6. Vai trò của công cụ đo đạc đối với phép chiếu Gauss-Krüger

Mối liên hệ giữa công cụ đo trắc địa và phép chiếu Gauss-Krüger là mối quan hệ giữa “Người thu thập dữ liệu thực địa” và “Người phiên dịch dữ liệu đó lên bản đồ”.

Có thể hình dung thế này:

• Công cụ đo (Máy toàn đạc, GPS…) giống như đôi mắt và thước kẻ của người kỹ sư, giúp họ “nhìn” và “đo” các yếu tố của thế giới thực (góc, cạnh, vị trí 3D).
• Phép chiếu Gauss-Krüger là một “cuốn từ điển” hay một “bộ quy tắc ngữ pháp” toán học, giúp chuyển đổi những gì “đo” được trong thế giới 3D cong đó thành một ngôn ngữ phẳng, có hệ thống trên giấy hoặc máy tính, đó chính là tọa độ (X, Y).

Để làm rõ hơn, chúng ta hãy xem xét mối liên hệ này với hai loại công cụ đo phổ biến nhất:

6.1. Với Máy Toàn đạc điện tử (Total Station)

Máy toàn đạc là công cụ đo góc và khoảng cách cực kỳ chính xác. Mối liên hệ của nó với phép chiếu Gauss diễn ra như sau:

Bước 1: Máy Toàn đạc đo đạc tại thực địa

• Người kỹ sư sẽ thiết lập máy tại một điểm gốc đã biết tọa độ Gauss-Krüger (ví dụ điểm A có tọa độ XA,YA).
• Họ sẽ đo góc và khoảng cách từ điểm A đến một điểm mới cần xác định (điểm B).
• Quan trọng: Dữ liệu máy toàn đạc thu được lúc này là dữ liệu “thô” của thế giới thực: góc kẹp giữa hai hướng, khoảng cách nghiêng, khoảng cách ngang… Nó chưa phải là tọa độ Gauss

Bước 2: Phép chiếu Gauss đóng vai trò là “Hệ Quy Chiếu”

• Dựa vào tọa độ Gauss của điểm A đã biết, và các số liệu góc, cạnh vừa đo được, người kỹ sư sẽ sử dụng các bài toán trắc địa trên mặt phẳng để tính ra tọa độ Gauss của điểm B (tọa độ XB,YB).
• Bản thân phép chiếu Gauss đã tạo ra một mặt phẳng tọa độ (một “sân chơi” vuông góc) để các công thức tính toán này có thể áp dụng được. Tính chất “đồng góc” của phép chiếu đảm bảo rằng góc đo ngoài thực địa có thể được sử dụng gần như nguyên vẹn trong tính toán trên mặt phẳng này.
• Về bản chất, máy toàn đạc hoạt động bên trong một “lưới” tọa độ đã được thiết lập sẵn bởi phép chiếu Gauss. Nó giúp mở rộng, làm dày thêm các điểm trong lưới tọa độ đó.

Ví dụ: Để bố trí tim một cây cầu, kỹ sư sẽ được cung cấp bản vẽ thiết kế với các điểm có tọa độ Gauss-Krüger. Họ sẽ dùng máy toàn đạc và các điểm mốc Gauss có sẵn để “tìm” và đánh dấu chính xác các vị trí đó ra ngoài thực địa.

6.2. Với Máy thu GPS/GNSS (Hệ thống định vị vệ tinh toàn cầu)

Với GPS, mối liên hệ này còn trực tiếp và rõ ràng hơn thông qua một bước gọi là “phép chuyển đổi tọa độ”.

Bước 1: Máy GPS thu nhận tọa độ Địa lý

• Máy thu GPS kết nối với các vệ tinh và tính toán ra vị trí của nó trên bề mặt Trái Đất.
• Quan trọng: Tọa độ mà GPS cung cấp mặc định là tọa độ địa lý (kinh độ, vĩ độ, độ cao) trong một hệ quy chiếu toàn cầu, phổ biến nhất là WGS-84. Đây là tọa độ trên bề mặt ellipsoid (mặt cong), không phải tọa độ phẳng Gauss-Krüger (X, Y).

Bước 2: Phép chiếu Gauss là “Công cụ Chuyển đổi”

• Để sử dụng được trong hệ tọa độ phẳng quốc gia (ví dụ HN-72 của Việt Nam trước đây dùng phép chiếu Gauss), tọa độ địa lý (kinh độ λ, vĩ độ φ) từ GPS phải được “phiên dịch”.
• Các công thức toán học phức tạp của phép chiếu Gauss-Krüger sẽ được áp dụng để chuyển đổi cặp (kinh độ, vĩ độ) thành cặp tọa độ phẳng vuông góc (X, Y).
• Quá trình này thường được thực hiện tự động bằng các phần mềm trắc địa chuyên dụng. Người dùng nhập vào tọa độ WGS-84, chọn đúng múi chiếu Gauss-Krüger, và phần mềm sẽ tính toán ra tọa độ (X, Y) tương ứng.

Lưu ý: Quá trình này còn bao gồm một bước gọi là “phép chuyển đổi hệ quy chiếu” (ví dụ từ WGS-84 sang Krasovsky) để đảm bảo độ chính xác cao nhất.

Công cụ đo và phép chiếu Gauss-Krüger là hai thành phần không thể tách rời trong quy trình công tác trắc địa. Công cụ đo thu thập thông tin từ thế giới thực, còn phép chiếu cung cấp mô hình toán học và hệ quy chiếu để biến những thông tin đó thành các con số tọa độ có ý nghĩa, thống nhất và sử dụng được trên bản đồ. Nếu không có phép chiếu, các số liệu đo đạc sẽ chỉ là những con số rời rạc, không thể đặt vào một hệ thống chung để quản lý, thiết kế và thi công.

7. Tổng kết bằng một ví dụ

Hãy tưởng tượng bạn đang vẽ sơ đồ một khu phố.

• Phép chiếu Gauss cho bạn một tờ giấy kẻ ô ly (hệ tọa độ X, Y).
• Bạn ra đường, dùng GPS để lấy kinh độ, vĩ độ của từng góc phố. Phép chiếu Gauss giúp bạn “dịch” các tọa độ GPS đó thành tọa độ (x, y) trên tờ giấy kẻ ô ly của mình.
• Bạn chấm các điểm (x, y) đó lên giấy và dùng thước kẻ vẽ các đường lưới ô vuông và nối các điểm đó lại để ra các con đường, các tòa nhà.
• Nhờ Phép chiếu Gauss, góc ngã tư trên bản vẽ của bạn sẽ vuông vức đúng như ngoài thực tế.

Như vậy, ứng dụng của phép chiếu Gauss-Krüger chính là cung cấp một bộ quy tắc toán học hoàn chỉnh và thống nhất để biến dữ liệu đo đạc rời rạc từ thực địa thành một tấm Bản đồ Gauss phẳng, chính xác và có hệ thống.

Q&A

1. Bản đồ Gauss và Phép chiếu Gauss có phải là 1 không

Không, “bản đồ Gauss” và “phép chiếu Gauss” không phải là một. Phép chiếu Gauss-Krüger (Công thức) → Tạo ra → Bản đồ Gauss (Sản phẩm)

Phép chiếu Gauss-Krüger không chỉ là nền tảng lý thuyết trong trắc địa mà còn là công cụ thiết yếu trong thực tế đo đạc bằng máy toàn đạc điện tử. Nhờ hệ tọa độ chính xác và dễ áp dụng, kỹ sư có thể chuyển dữ liệu thiết kế thành vị trí thực địa một cách nhanh chóng và chuẩn xác. Việc hiểu và vận dụng đúng phép chiếu này là điều kiện tiên quyết để đảm bảo độ tin cậy trong thi công và quản lý công trình.